Question

6．如图，已知矩形ABCD的边长AB=4，BC=6，对角线AC的垂直平分线分别交AC、AD、BC于O、E、F，连结AF、CE，则$\frac{AE}{BF}$=$\frac{13}{5}$．

Answer 1

分析 由ASA证明△AOE≌△COF，得出对应边相等EO=FO，证出四边形AFCE为平行四边形，再由FE⊥AC，得出四边形AFCE为菱形，由菱形的性质得出AE=CF，AE=CE，得出DE=BF，设AE=CE=x．则DE=AD-x，CD=AB=4，由勾股定理得出方程，解方程求出AE，得出DE，即可得出结果．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥FC，AD=BC，
∴∠EAO=∠FCO，
∵EF垂直平分AC，
∴AO=CO，FE⊥AC，
在△AOE和△COF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EAO=∠FCO}&{\;}\\{AO=CO}&{\;}\\{∠AOE=∠COF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△COF（ASA），
∴EO=FO，
∴四边形AFCE为平行四边形，
又∵FE⊥AC，
∴平行四边形AFCE为菱形．
∴AE=CF，AE=CE，
∴DE=BF，
设AE=CE=x．
则DE=AD-x，CD=AB=4．
根据勾股定理可得：x²=（6-x）²+4²
解得：AE=$\frac{13}{3}$．
∴DE=6-$\frac{13}{3}$=$\frac{5}{3}$，
∴BF=$\frac{5}{3}$，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{13}{5}$；
故答案为$\frac{13}{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质、菱形的判定方法、平行四边形的判定方法、全等三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证明四边形是菱形是解决问题的关键．