Question

（本小题满分9分）

在中，，点在所在的直线上运动，作（按逆时针方向）．

（1）如图1，若点在线段上运动，交于．

①问△ABD与△DCE相似吗?为什么?

②当是等腰三角形时，求的长．

（2）①如图2，若点在的延长线上运动，的反向延长线与的延长线相交于点，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由；

②如图3，若点在的反向延长线上运动，是否存在点，使是等腰三角形？若存在，写出所有点的位置；若不存在，请简要说明理由．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

①证明：……………………………………………………1分

理由是:在中，∵

∴∠B=∠C=45°又 ∠ADE=45°

………………2分

∴∠ADB+∠EBC=∠EBC+∠DEC=135°

………………3分

∴∠ADB=∠DEC    

∴          

② 当是等腰三角形时,分以下三种情况讨论

第一种情况：DE=AE

∵DE=AE

∴∠ADE=∠DAE=45°

………………4分

∴ ∠AED=90°, 此时，E为AC的中点，

∴AE=AC=1.

 

第二种情况：AD=AE（D与B重合）

AE=2………………………………………………………………………………5分

第三种情况 ：AD=AE

如果AD=DE，由于，

∴ △ABD≌△DCE,

∴BD=CE,AB=DC,设BD=CE= 

在中，∵，

∴ BC=, DC=－

∴－=2 ,解得，=－2 ，

∴ AE= 4 －2……………………………………………………………6分

综上所述：AE的值是1，2，4 －2

(2)①存在。

………………7分

当D在BC的延长线上，且CD=CA时，是等腰三角形.

证明：∵∠ADE=45°=∠ACB=∠DCE′,

∴ ∠ADC+∠EDC=∠EDC+∠DEC=135°,

∴ ∠ADC=∠DEC,又CD=CA ，

∴ ∠CAD=∠CDA ,

∴ ∠CAD=∠CED ,

∴DA=DE′,

………………8分

∴ 是等腰三角形.

②不存在.

因为 ∠ACD=45°＞∠E , ∠ADE=45°

………………9分

∴∠ADE≠∠E

∴不可能是等腰三角形。

 

【解析】略