题目内容
【题目】在平面直角坐标系中，已知如图所示的抛物线顶点
的坐标为
，且过点
．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点
为抛物线对称轴右侧、
轴下方一点，当
时，求直线
的解析式；
（3）平移（1）中的抛物线，记平移后抛物线的顶点为
，顶点在直线
上滑动，且平移后的抛物线与直线交于另一点
，若点
为平移前（1）中抛物线上的点，则当以、、三点为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点的坐标．
【答案】（1）
；（2）
；（3）符合条件的点E的坐标为（4，-2）或（-2，4）或（
）或（
）．
【解析】
（1）由顶点坐标，设抛物线
，然后将A点代入解析式，用待定系数法求解即可；
（2）过点B作BN⊥y轴，直线OP与抛物线对称抽BM交于点F，结合矩形的性质求得
，从而得到FO=FB，设MF=x，则FO=FB=4-x，利用勾股定理求x的值，确定F点坐标，从而用待定系数法求直线解析式；
（3）线段AB的长度可求，并且在抛物线滑动过程中，线段CD的长度也是不变的，始终等于AB，因此，问题就相当于一条定长线段CD在直线AB上滑动，若
、
、
三点为顶点的三角形是等腰直角三角形，则按照∠KDC=90°，KD=DC；∠KCD=90°，KC=DC；∠CKD=90°，CK=DK三种情况分析，只需利用等腰直角三角形和一次函数的图像性质求得AN的相应的距离，从而求平移后的直线解析式与原抛物线解析式相等时方程的解，可解得E点的坐标．
解：（1）由题意，设抛物线，将
代入，得
，解得：
∴抛物线的解析式为：
（2）如图：过点B作BN⊥y轴，直线OP与抛物线对称抽BM交于点F
由题意可知
，四边形ONBM是矩形
∴
∴
∴FO=FB
由B（2，-4）可得，OM=2，MB=4
设MF=x，则FO=FB=4-x
在Rt△OMF中，
，解得：
∴F（2，
）
设直线OP的解析式为
，把F（2， ）代入，得
解得：
∴直线OP的解析式为；
（3）∵A（0，-2），B（2，-4）
∴
抛物线滑动过程中，C与B为对应点，D与A为对应点，
∴
∴①当∠KDC=90°，KD=DC=
时，
设过点K且平行于直线AB的直线KN（直线KN与y轴交于点N）的解析式为y=-x+n
设直线AB的解析式为
，则
解得
所以直线AB的解析式为：y=-x-2
∴∠FAN=45°，
∴△NFA为等腰直角三角形，则
∴N（0，2）
则直线KN的解析式为y=-x+2
由此
，解得
或
∴E点坐标为（4，-2）或（-2，4）
②当∠KCD=90°，KC=DC=时，同理可求，E点坐标为（4，-2）或（-2，4）；
③当∠CKD=90°，CK=DK时，
过点K作KG⊥CD，此时，KG=NF=AF=
，AN=2
∴N（0，0）
则直线KN的解析式为y=-x
由此
，解得
或
∴E点坐标为（ ）或（）
综上所述，符合条件的点E的坐标为（4，-2）或（-2，4）或（ ）或（）．
