Question

.(12分)如图1：⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在上取一点D，分别作直线CD、ED交直线AB于点F、M。

（1）求∠COA和∠FDM的度数；(3分)
（2）求证：△FDM∽△COM；(4分)
（3）如图2：若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M，试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论。(5分)

Answer 1

（1）∵AB为直径，CE⊥AB


∴＝，CG＝EG
在Rt△COG中，
∵OG＝OC
∴∠OCG＝30⁰，∠COA＝60⁰
又∵∠CDE的度数
＝弧CAE的度数
＝的度数
＝∠COA的度数＝60⁰
∴∠FDM＝180⁰－∠CDE＝120⁰
（2）证明：
∵∠COM＝180⁰－∠COA＝120⁰
∴∠COM＝∠FDM
在Rt△CGM和Rt△EGM中
∵　　∴Rt△CGM≌Rt△EGM　　∴∠GMC＝∠GME
又∠DMF＝∠GME　　∴∠OMC＝∠DMF　　∴△FDM∽△COM
（3）解：结论仍成立。
∵∠FDM＝180⁰－∠CDE
∴∠CDE的度数＝弧CAE的度数＝的度数＝∠COA的度数
∴∠FDM＝180⁰－∠COA＝∠COM
∵AB为直径，CE⊥AB； ∴在Rt△CGM和Rt△EGM中
∵
∴Rt△CGM≌Rt△EGM
∴∠GMC＝∠GME
∴△FDM∽△COM

解析