Question

【题目】如图，是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点，点、、分别为线段，，上的一点，以为直角顶点的等腰直角三角形，，连结．

（1）当与点重合时，求的长．

（2）当时，求的面积．

（3）①比较与的面积大小关系，并说明理由．

②当的面积为6时，求的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）①，理由见解析；②

【解析】

（1）依据等腰三角形的性质与勾股定理可以求得，依据三角形中等角对等边，可得是等腰三角形，依据等腰三角形三线合一的性质，可得；

（2）过点作于点，依据等角的余角相等，可用AAS证明≌，依据全等三角形的性质可得高为，再用求出底边，最后用三角形面积公式可求的面积；

（3）①设全等的和的对应边，，则可用、表示出两个三角形的面积，可依据三角形等角对等边的性质，得到,从而得到、间的关系，将这个关系代入两个面积中，即可发现它们相等；

②当的面积为6时，可得到关于、的等式，再结合，可解出、，代入中即可.

解：（1）∵是以为斜边的等腰直角三角形，为的中点，，

∴,,

∴,,

∴，

∴，同理,

如下图，当与点重合时，

∵以为直角顶点的等腰直角三角形，

∴,,

∴,

∴,

又∵，

∴；

（2）如下图，过点作于点，

又∵，

∴,

又∵,

∴,,

∴,

又∵，,

∴≌（AAS），

∴,

又∵，，,

∴，，

∴的面积=．

（3）①与的面积相等，理由如下：

如下图，过点作于点，则，，

又∵,

∴,

∴,

∴,

由（2）知≌，

∴设，，

∴，，

∴，，,

又∵，,

∴,即，，

，，

∴，，

∴；

②∵，，

∴，，

∴，

∴.