Question

如图1，是一块半径为1的半圆形纸板，在其左下端剪去一个半径为

1

2

的半圆后得到一图形（图2），然后依次剪去一个更小的半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得图形3，…，2-n，记第n个纸板的面积为S_n
（1）计算求出S₂，S₃；    
（2）试求出S₄-S₃；
（3）猜想S_n-S_n-1

 

（n≥2）．（直接写出答案）．

Answer 1

分析：由P₁是一块半径为1的半圆形纸板，在P₁的左下端剪去一个半径为

1

2

的半圆后得到图形P₂，得到S₁=

1

2

π×1²=

1

2

π，S₂=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²．同理可得S_n-1=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π×[（

1

2

）²]²-…-

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²，S_n=

1

2

π-

1

2

π×（

1

2

）²-

1

2

π×[（

1

2

）²]²-…-

1

2

π×[（

1

2

）^n-2]²-

1

2

π×[（

1

2

）^n-1]²，它们的差即可得到．

解答：解：（1）S₂=

1

2

π-

1

2

π×(

1

2

)2=

3

8

π，
S₃=

1

2

π-

1

2

π×(

1

2

)2-

1

2

π×[(

1

2

)2]2⁼

11

32

π；

（2）S₄-S₃=

1

2

π×[(

1

2

)3]2=

1

128

π；

（3）S_n-1=

1

2

π-

1

2

π×(

1

2

)2-

1

2

π×[(

1

2

)2]2-…-

1

2

π×[(

1

2

)n-2]2，
S_n=

1

2

π-

1

2

π×(

1

2

)2-

1

2

π×[(

1

2

)2]2-…-

1

2

π×[(

1

2

)n-2]2-

1

2

π×[(

1

2

)n-1]2，
∴S_n-S_n-1=

1

2

π×[(

1

2

)n-2]2=(

1

2

)2n-1π．
故答案为：(

1

2

)2n-1π．

点评：本题考查了圆的面积公式：S=πR²，及规律性题目的解题一般方法：从特殊到一般，找出规律是解答的基础．