Question

如图，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，垂足为D．
（1）请你写出图中所有的等腰三角形；
（2）求证：AD⊥BE．

Answer 1

考点：角平分线的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据△ABC是等腰直角三角形可知∠8=45°，由ED⊥BC可知∠7=∠8=45°，由此得到△DCE为等腰三角形；由角平分线的性质可知AE=DE，由此得到△AED为等腰三角形；同理可得△ABD为等腰三角形；
（2）BE是∠ABC的平分线，DE⊥BC，根据角平分线定理可知△ABE关于BE与△DBE对称．可得出BE⊥AD．

解答：解：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠8=45°，
又∵DE⊥BC，
∴∠EDC=90°，∠7=∠8=45°，DE=DC，
故△DCE为等腰三角形；
∵BE是∠ABC的角平分线，∠BAC=∠ACB=90°，
∴AE=DE，
故△ADE为等腰三角形；
∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠1=∠2，
又∵∠BAE=∠EDB=90°，BE=BE，
∴△ABE≌△DBF，∠3=∠4，AB=BD，
故△ABD为等腰三角形．
故图中所有的等腰三角形为△ABC，△DCE，△ADE，△ABD，共四个；

（2）AD⊥BE．
证明：∵BE为∠ABC的平分线，
∴∠ABE=∠DBE，∠BAE=∠BDE=90°，BE=BE，
∴△ABE沿BE折叠，一定与△DBE重合．
∴A、D是对称点，
∴AD⊥BE．

点评：本题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由已知条件利用相关的性质求得各个角的度数及等量代换的应用是正确解答本题的关键．