Question

已知：如图，AB是⊙O的直径，F，C是⊙O上两点，且=，过C点作DE⊥AF的延长线于E点，交AB的延长线于D点．
（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）试判断∠BCD与∠BAC的大小关系，并证明你的结论．

Answer 1

（1）DE与⊙O的位置关系是：DE是⊙O的切线；
证明：如图所示，连接CO，
∵AO=CO，
∴∠1=∠2，
∵=，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴CO∥AE，
∵DE⊥AF，
∴CO⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∠BCD与∠BAC的大小关系为：∠BCD=∠BAC，
证明：∵CO⊥DE，
∴∠OCD=90°，
∴∠OCB+∠BCD=90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCA=90°，即∠OCB+∠2=90°，
∴∠2=∠BCD，
∵∠1=∠2，
∴∠1=∠BCD，
即∠BCD=∠BAC．
分析：（1）利用平行线判定定理得出CO∥AE，进而得出CO⊥DE，利用切线的判定定理得出即可．
（2）利用圆周角定理得出∠OCB+∠2=90°，进而得出利用∠1=∠2，得出∠1=∠BCD即可得出答案．
点评：此题主要考查了切线的判定定理和圆周角定理、平行线判定定理等知识，根据已知得出∠1=∠3以及∠OCB+∠2=90°是解决问题的关键．