Question

如图，在长方形ACDF中，AC=DF，点B在CD上，点E在DF上，BC=DE=a，AC=BD=b，AB=BE=c，且AB⊥BE．
（1）用两种不同的方法表示长方形ACDF的面积S
方法一：S=

ab+b²

方法二：S=

ab+

1

2

b²-

1

2

a²+

1

2

c²．

（2）求a，b，c之间的等量关系（需要化简）
（3）请直接运用（2）中的结论，求当c=5，a=3，S的值．

Answer 1

分析：（1）方法一，根据矩形的面积公式就可以直接表示出S；
方法二，根据矩形的面积等于四个三角形的面积之和求出结论即可；
（2）根据方法一与方法二的S相等建立等式就可以表示出a，b，c之间的等量关系；
（3）先由（2）的结论求出b的值，然后代入S的解析式就可以求出结论．

解答：解：（1）由题意，得
方法一：S₁=b（a+b）=ab+b²
方法二：S₂=

1

2

ab+

1

2

ab+

1

2

（b-a）（b+a）+

1

2

c²，
=ab+

1

2

b²-

1

2

a²+

1

2

c²．

（2）∵S₁=S₂，
∴ab+b²=ab+

1

2

b²-

1

2

a²+

1

2

c²，
∴2ab+2b²=2ab+b²-a²+c²，
∴a²+b²=c²．

（3）∵a²+b²=c²．且c=5，a=3，
∴b=4，
∴S=3×4+16
=28．
答：S的值为28．
故答案为：ab+b²，ab+

1

2

b²-

1

2

a²+

1

2

c²．

点评：本题考查了整式的混合运算的运用，矩形的面积公式的运用，三角形的面积公式的运用，化简求值的运用．