题目内容
如图，在△ABC中，AB=10cm，BC=20cm，点P从点A开始沿AB边向B点以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以4cm/s的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，问经过几秒钟，△PBQ与△ABC相似．
分析：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，根据路程公式可得AP=2t，BQ=4t，BP=10-2t，然后利用相似三角形的性质对应边的比相等列出方程求解即可．
解答：解：设经过t秒后，△PBQ与△ABC相似，则有AP=2t，BQ=4t，BP=10-2t，
当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB=BQ：BC，
即（10-2t）：10=4t：20，
解得t=2.5（s）（6分）
当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（10-2t）：20，
解得t=1．
所以，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似（10分）．
解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，则有，AP=2t，BQ=4t，BP=10-2t
分两种情况：
（1）当BP与AB对应时，有
=
，即
=
，解得t=2.5s
（2）当BP与BC对应时，有
=
，即
=
，解得t=1s
所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似．
当△PBQ∽△ABC时，有BP：AB=BQ：BC，
即（10-2t）：10=4t：20，
解得t=2.5（s）（6分）
当△QBP∽△ABC时，有BQ：AB=BP：BC，即4t：10=（10-2t）：20，
解得t=1．
所以，经过2.5s或1s时，△PBQ与△ABC相似（10分）．
解法二：设ts后，△PBQ与△ABC相似，则有，AP=2t，BQ=4t，BP=10-2t
分两种情况：
（1）当BP与AB对应时，有
| BP |
| AB |
| BQ |
| BC |
| 10-2t |
| 10 |
| 4t |
| 20 |
（2）当BP与BC对应时，有
| BQ |
| AB |
| BP |
| BC |
| 4t |
| 10 |
| 10-2t |
| 20 |
所以经过1s或2.5s时，以P、B、Q三点为顶点的三角形与△ABC相似．
点评：本题综合了路程问题和三角形的问题，所以学生平时学过的知识要会融合起来．
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