题目内容

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于D，AE是△ABC中线．下列结论正确的有
①△AEC是等边三角形；②△AED的面积是△ABC面积的 $数学公式$ ；③若DC=a，则AE= $数学公式$ ；④若DC=a，则AB=2 $数学公式$ a；⑤沿AE、AD剪开所成的三个三角形可以拼成一个菱形．

A.
5个
B.
4个
C.
3个
D.
2个

B
分析：Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于D，AE是△ABC中线，则AE=EC=AC，可判断①；根据面积的计算公式可判断②；DC= $\text{[math]}$ EC= $\text{[math]}$ AE，AB= $\text{[math]}$ AC=2 $\text{[math]}$ DC，可判断③和④；可通过实际操作判断⑤；
解答：

解：∵Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=30°，AD⊥BC于D，AE是△ABC中线，
则AE=EC=AC，△AEC是等边三角形．故①正确；
∵DE= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ BC，根据三角形的面积计算公式可知△AED的面积是△ABC面积的 $\text{[math]}$ ，故③正确；
∵DC= $\text{[math]}$ EC= $\text{[math]}$ AE，AB= $\text{[math]}$ AC=2 $\text{[math]}$ DC，
∴AE=2a，AB=2 $\text{[math]}$ a，故③错误，④正确；
沿AE、AD剪开所成的三个三角形可以拼成一个菱形，如图所示：
故⑤正确．
故结论正确的有①②④⑤，共4个．
故选B．
点评：本题考查含30度角的直角三角形的性质及图形剪拼的问题，难度适中，解题关键是对含30度角直角三角形性质的熟练掌握．