Question

已知抛物线的顶点为P，与y轴交于点A，与直线OP交于点B.

（1）如图1，若点P的横坐标为1，点B的坐标为（3，6），试确定抛物线的解析式；

（2）在（1）的条件下，若点M是直线AB下方抛物线上的一点，且, 求点M的坐标；

（3）如图2，若点P在第一象限，且PA=PO，过点P作PD⊥x轴于点D. 将抛物线平移，平移后的抛物线经过点A、D，该抛物线与x轴的另一个交点为C，请探究四边形OABC的形状，并说明理由.

 

          

 

                   图1                             图2

Answer 1

解：（1）依题意, , 解得b=-2.

          将b=-2及点B(3, 6)的坐标代入抛物线解析式得

          .

          解得 c=3.

          所以抛物线的解析式为.  

   （2）∵抛物线 与y轴交于点A，

∴ A(0, 3).

∵ B(3, 6),

可得直线AB的解析式为.

设直线AB下方抛物线上的点M坐标为（x，），过M点作y轴的平行线交直线AB于点N, 则N(x, x+3). (如图1)

           ∴ .       

           ∴.

           解得 .                                         

           ∴点M的坐标为(1, 2) 或 (2, 3).              

（3）如图2，由 PA=PO, OA=c, 可得.

    ∵抛物线的顶点坐标为 ,           图1

    ∴ .

          ∴ .    

          ∴ 抛物线,  A（0，），P（，）, D（，0）.

          可得直线OP的解析式为.     

          ∵ 点B是抛物线

与直线的图象的交点，

          令 .

          解得.                                图2

          可得点B的坐标为（-b，）.         

          由平移后的抛物线经过点A, 可设平移后的抛物线解析式为.

          将点D(，0)的坐标代入，得.

          ∴ 平移后的抛物线解析式为. 

           令y=0, 即.

           解得.

           依题意, 点C的坐标为（-b，0）.            

           ∴ BC=.

           ∴ BC= OA.

又BC∥OA，

∴ 四边形OABC是平行四边形.

           ∵ ∠AOC=90°，

           ∴ 四边形OABC是矩形.