Question

如图，△ABC内接于圆O，AB为圆O的直径，CM是圆O的切线，D是CM上一点，连接BD，若∠DBC=∠CAB，
（1）求证：BD是圆O的切线；
（2）若∠ABC=30°，OA=4，求BD的长．

Answer 1

（1）证明：∵AB是圆O的直径，
∴∠ACB=90°．
∴∠CBA+∠CAB=90°，
∵∠DBC=∠CAB，
∴∠CBA+∠DBC=90°，即∠ABD=90°．
∴BD是圆O切线；

（2）解：∵∠ABC=30°，OA=4，
∴AC=AB=4，BC==4．
∵DC、DB是圆O切线，
∴DC=DB，
∵∠DBC=∠DBA，∠DBA=60°，
∴△DCB是等边三角形，
∴BD=BC=4．
分析：（1）欲证BD是圆O的切线，只需证明BD⊥AB即可；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理求得BC的长度．然后由等边△DCB的性质推知BD=BC．
点评：本题考查了等边三角形的判定与性质、切线的判定与性质以及勾股定理．切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．