Question

【题目】（1）（问题情境）

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

如图①，在△ABC中，AD是△ABC的中线，若AB＝10，AC＝8，求AD的取值范围．

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE．请根据小明的方法思考：

Ⅰ.由已知和作图能得到△ADC≌△EDB，依据是________．

A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA

Ⅱ.由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是________．

解后反思：题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中．

（2）（学会运用）

如图②，AD是 △ABC的中线，点E在BC的延长线上，CE=AB, ∠BAC=∠BCA, 求证：AE=2AD.

Answer 1

【答案】（1）Ⅰ.B；Ⅱ. 1＜AD＜9；（2）证明见解析.

【解析】

（1）Ⅰ.根据全等三角形的判定定理解答；

Ⅱ.根据三角形的三边关系定理可得ABBE＜AE＜AB＋BE，结合BE=AC可确定AE的取值范围，易得AD的取值范围；

（2）首先延长AD至M，使DM＝AD，先证明△ABD≌△MCD，进而得出MC＝AB，∠B＝∠MCD，即可得出∠ACM＝∠ACE，再证明△ACM≌△ACE，即可证明结论．

解：（1）Ⅰ.在△ADC和△EDB中，，

∴△ADC≌△EDB（SAS），

故选：B；

Ⅱ.∵△ADC≌△EDB，

∴BE=AC，

∵ABBE＜AE＜AB＋BE，

∴AB AC＜AE＜AB＋AC，即2＜AE＜18，

∴1＜AD＜9，

故答案为：1＜AD＜9；

（2）延长AD至M，使DM＝AD，

∵AD是△ABC的中线，

∴BD＝CD，

在△ABD和△MCD中，，

∴△ABD≌△MCD（SAS），

∴MC＝AB，∠B＝∠MCD，

∵AB＝CE，

∴CM＝CE，

∵∠BAC＝∠BCA，

∴∠B＋∠BAC＝∠ACB＋∠MCD，即∠ACE＝∠ACM，

在△ACE和△ACM中，，

∴△ACM≌△ACE（SAS），

∴AE＝AM，

∵AM＝2AD，

∴AE＝2AD．