Question

如图，A为圆O上半圆上的一个三等分点，B是AM的中点，P为直径MN上的一动点，圆O的半径为1，
求AP+BP的最小值．

Answer 1

分析：找点A或点B关于MN的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和MN的交点P就是所求作的位置．根据题意先求出∠CAE，再根据勾股定理求出AE，即可得出PA+PB的最小值．

解答：解：作点B关于MN的对称点E，连接AE交MN于点P
此时PA+PB最小，且等于AE．
作直径AC，连接CE．
根据垂径定理得弧BM=弧ME．
∵A是半圆的三等分点，
∴∠AOM=60°，∠MOE=

1

2

∠AOM=30°，
∴∠AOE=90°，
∴∠CAE=45°，
又AC为圆的直径，∴∠AEC=90°，
∴∠C=∠CAE=45°，
∴CE=AE=

2

2

AC=

2

，
即AP+BP的最小值是

2

．

点评：本题考查了垂径定理及勾股定理的知识，此题的难点是确定点P的位置：找点B关于MN的对称点，再连接其中一点的对称点和另一点，和AE于MN的交点P就是所求作的位置．再根据弧的度数和圆心角的度数求出∠CAE，根据勾股定理求出AE即可．