题目内容
观察思考：某种在同一平面进行传动的机械装置如图1，图2是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH⊥l于点H，并测得OH=4分米，PQ=3分米，OP=2分米．
解决问题：
（1）点Q与点O间的最小距离是______分米；点Q与点O间的最大距离是______分米；点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间的距离是______分米；
（2）如图3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对吗？
为什么？
（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大的位置，此时，点P到l的距离是______分米；
②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇形，求这个扇形面积最大时圆心角的度数．
【答案】分析：（1）当OQ最小时，Q、H重合，此时OQ=OH=4；当O、Q的距离最大时，O、P、Q三点共线，此时OQ=OP+PQ=5；当O、P、Q三点共线时，在Rt△OQH中，由勾股定理可求得QH=3，那么点Q在l上的最大滑动距离为2QH=6．
（2）显然不对，当Q、H重合时，OP=2、PQ=3、OQ=4，显然构不成直角三角形，故PQ与⊙O不相切．
（3）①当P到直线l的距离最长时，这个最大距离为PQ=3，此时PQ⊥直线l；
②当P到直线l的距离最大时，OP无法再向下摆动，若设点P摆动的两个极限位置为P、P′，连接PP′，则四边形PQ′QP是矩形，设OH与PP′交于点D，那么PQ′=DH=PQ=3，则OD=OH-DH=1，在Rt△OPD中，OP=2，OD=1，则∠POD=60°，∠POP′=120°，由此得解．
解答：
解：（1）4，5，6；
（2）不对．
∵OP=2，PQ=3，OQ=4，且42≠32+22，即OQ2≠PQ2+OP2，
∴OP与PQ不垂直．∴PQ与⊙O不相切．
（3）①因为PQ的值永远是3，只有PQ⊥l时，点P到直线l的距离最大，此时最大的距离是3分米；
②由①知，在⊙O上存在点P，P'到l的距离为3，此时，OP将不能再向下转动，
如图．OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P'OP．
连接P'P，交OH于点D，
∵PQ，P'Q'均与l垂直，且PQ=P'Q'=3，
∴四边形PQQ'P'是矩形，
∴OH⊥PP'，PD=P'D．
由OP=2，OD=OH-HD=1，得∠DOP=60°．
∴∠POP'=120°．
∴所求最大圆心角的度数为120°．
点评：此题结合实际问题考查了数学相关知识的应用，涉及的知识点有：勾股定理、切线的判定、矩形的判定和性质、垂径定理等重要知识．
（2）显然不对，当Q、H重合时，OP=2、PQ=3、OQ=4，显然构不成直角三角形，故PQ与⊙O不相切．
（3）①当P到直线l的距离最长时，这个最大距离为PQ=3，此时PQ⊥直线l；
②当P到直线l的距离最大时，OP无法再向下摆动，若设点P摆动的两个极限位置为P、P′，连接PP′，则四边形PQ′QP是矩形，设OH与PP′交于点D，那么PQ′=DH=PQ=3，则OD=OH-DH=1，在Rt△OPD中，OP=2，OD=1，则∠POD=60°，∠POP′=120°，由此得解．
解答：
解：（1）4，5，6；（2）不对．
∵OP=2，PQ=3，OQ=4，且42≠32+22，即OQ2≠PQ2+OP2，
∴OP与PQ不垂直．∴PQ与⊙O不相切．
（3）①因为PQ的值永远是3，只有PQ⊥l时，点P到直线l的距离最大，此时最大的距离是3分米；
②由①知，在⊙O上存在点P，P'到l的距离为3，此时，OP将不能再向下转动，
如图．OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是P'OP．
连接P'P，交OH于点D，
∵PQ，P'Q'均与l垂直，且PQ=P'Q'=3，
∴四边形PQQ'P'是矩形，
∴OH⊥PP'，PD=P'D．
由OP=2，OD=OH-HD=1，得∠DOP=60°．
∴∠POP'=120°．
∴所求最大圆心角的度数为120°．
点评：此题结合实际问题考查了数学相关知识的应用，涉及的知识点有：勾股定理、切线的判定、矩形的判定和性质、垂径定理等重要知识．
练习册系列答案
相关题目
