题目内容

如图，△ABC是边长为10cm的等边三角形，动点P和动点Q分别从点B和点C同时出发，沿着△ABC逆时针运动，已知动点P的速度为1（cm/s），动点Q的速度为2（cm/s）．设动点P、动点Q的运动时间为t（s）
（1）当t为何值时，两个动点第一次相遇．
（2）从出发到第一次相遇这一过程中，当t为何值时，点P、Q、C为顶点的三角形的面积为 $数学公式$ ．　（友情提示：直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半）

（1）解：根据题意得：2t=20+t，
解得：t=20，
答：当t为20时，两个动点第一次相遇．

（2）解：△ABC是边长为10cm的等边三角形，
∴∠C=60°，
有3种情况：①如图1，过Q作QH⊥BC于H，
CQ=2t，∠HQC=30°，CH=t，由勾股定理得：QH= $\text{[math]}$ t，

由三角形面积公式得： $\text{[math]}$ （10-t）• $\text{[math]}$ t=8 $\text{[math]}$ ，
解得：t=2，t=8（舍去）；

②如图2，
BQ=20-2t，BP=t，QH=（10-t） $\text{[math]}$ ，
由三角形面积公式得： $\text{[math]}$ •t（10-t） $\text{[math]}$ =8 $\text{[math]}$ ，
解得：t=2或t=8，
当t=2时，Q在AC上，舍去，
∴t=8；

③如图3：CQ=30-2t，CP=t-10，CH= $\text{[math]}$ （t-10），PH= $\text{[math]}$ （t-10），
∴ $\text{[math]}$ （30-2t）• $\text{[math]}$ （t-10）=8 $\text{[math]}$ ，
此方程无解；
∴t的值是8，2，
答：从出发到第一次相遇这一过程中，当t为8和2时，点P、Q、C为顶点的三角形的面积为8 $\text{[math]}$ cm²．
分析：（1）根据题意得方程2t=20+t，即可求出答案；
（2）有3种情况①如图1，过Q作QH⊥BC于H，得到CQ=2t，∠HQC=30°，CH=t，求出QH的长，根据三角形的面积公式即可求出t的值；②如图2，与①类似即可求出t的值；③如图3：CQ=30-2t，CP=t-10，CH= $\text{[math]}$ （t-10），PH= $\text{[math]}$ （t-10），得到方程的解不符合Q在BC上，综合上述得到答案．
点评：本题主要考查了等边三角形的性质，三角形的面积，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质等知识点，解此题的关键是能进行分类讨论求出t的值．此题难度较大．