题目内容
【题目】如图，抛物线y=ax2+bx+4交y轴于点A，并经过B（4，4）和C（6，0）两点，点D的坐标为（4，0），连接AD，AB，BC，点E从点A出发，以每秒 
个单位长度的速度沿线段AD向点D运动，到达点D后，以每秒1个单位长度的速度沿射线DC运动，设点E的运动时间为t秒，过点E作AB的垂线EF交直线AB于点F，以线段EF为斜边向右作等腰直角△EFG．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点G落在第一象限内的抛物线上时，求出t的值；
（3）设点E从点A出发时，点E，F，G都与点A重合，点E在运动过程中，当△BCG的面积为4时，直接写出相应的t值，并直接写出点G从出发到此时所经过的路径长．
【答案】
（1）解：将B（4，4）和C（6，0）代入抛物线y=ax2+bx+4得：
，
解得： 
，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ 
x2+ 
x+4
（2）解：如图1，由题意得：AE= 
t， 
∵A（0，4），B（4，4），
∴AB⊥y轴，且AB∥x轴，
∵OA=OD=4，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴∠ADO=∠BAD=45°，
∴△AFE是等腰直角三角形，
∴AF=EF=t，
∵△EFG是等腰直角三角形，
∴G（t+ 
t，4﹣ t），
即：点G（ 
，4﹣ t），
将点G（ ，4﹣ t）代入到抛物线得：
4﹣ t=﹣ （ ）2+ 
+4，
解得：t1=0（舍），t2= 
，
答：当t= 时，点G落在抛物线上
（3）解：如图2，连接BD，当G在BD上时，
=4，
t= 
，
①当0≤t≤ 时，如图3， 
过G作GH⊥x轴于H，延长HG交AB于M，则GM⊥AB，
∵B（4，4），D（4，0），
∴BD⊥x轴，
∴S△BCG=S梯形GHDB+S△BDC﹣S△GHC，
4= （4﹣ 
+4）（4﹣ ）+ ×4×（6﹣4）﹣ （6﹣ ）（4﹣ t），
4= 
t，
解得：t= 
，
∴AM= = 
× = 
，
GM= t= × = 
，
在Rt△AGM中，由勾股定理得：AG= 
= 
= 
；
∴当t= 时，此时点G运动的路径长为 ；
②当G在BC上时，如图4， 
tan∠C= 
=2，
∴GH=2HC，
∴4﹣ t=2（6﹣ ），
t= 
，
当 ＜t≤ 时，如图5， 
S△BCG=S△BDC﹣S梯形BDHG﹣S△GHC，
4= ×4×2﹣ （4﹣ +4）（ t﹣4）﹣ × 
，
t= （不在此范围内，不符合题意），
③当E与D重合时，F与B重合，如图6， 
t= 
=4，
∴G（6，2），
∴AG= 
=2 
，
∴S△BCG=S梯形BDCG﹣S△BDC= ×2×（4+2）﹣ ×2×4=2，
∴当t＞4时，如图7， 
由题意得：DE=t﹣4，
∴OE=t﹣4+4=t，
∴OH=OE+EH=t+2，
EH=2，GM=GH=2，
BM=t+2﹣4=t﹣2，
CH=t+2﹣6=t﹣4，
过G作MH⊥x轴，交x轴于H，交直线AB于M，
∴S△BGC=S梯形BCHM﹣S△BGM﹣S△GCH，
4= （t﹣4+t﹣2）×4﹣ ×2×（t﹣2）﹣ ×2×（t﹣4），
t=5，
当t=5时，点G的运动路径分为两部分组成：
i）点G从A运动到D时，运动路径为：如图6中的AG长，即为2 ；
ii）点G从D点继续在射线DC上运动1秒时，路径为1；
所以当t=5时，此时点G运动的路径长度为1+2 ．
综上所述：当t1= 秒，此时路径长度为 ，
当t2=5秒，此时路径长度为1+2 ．
【解析】（1）利用待定系数法把B、C坐标代入解析式即可;（2）用t 的代数式表示出G的横纵坐标，代入抛物线解析式即可；（3）t=时，E到D，因此时间t 分为当①0≤t≤ ， ② ＜t
③t=4 4)t＞4;5).t=5时，点G的运动路径分为两部分组成,综合起来t=或t=5,分别求出对应的路径长.
