题目内容

如图，抛物线y=
1
2
x2+mx+n过原点O，与x轴交于A，点D（4，2）在该抛物线上，过点D作CD∥x轴，交抛物线于点C，交y轴于点B，连接CO、AD．
（1）求C点的坐标及抛物线的解析式；
（2）将△BCO绕点O按顺时针旋转90°后再沿x轴对折得到△OEF（点C与点E对应），判断点E是否落在抛物线上，并说明理由；
（3）设过点E的直线交OA于点P，交CD边于点Q．问是否存在点P，使直线PQ分梯形AOCD的面积为1：3两部分？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．
（1）依题意，得
n=0
8+4m+n=2
，解得
m=-
3
2
n=0
，
所以，抛物线解析式为y=
1
2
x2-
3
2
x，把y=2代入，得x1=4，x2=-1，
所以，C（-1，2）；

（2）点E落在抛物线上．理由如下：
∵BC=1，OB=2，∠OBC=90°，
由旋转、轴对称的性质知：EF=1，OF=2，∠OFE=90°，
∴点E点的坐标为（2，-1），
当x=2时，y=
1
2
×4-
3
2
×2=-1，∴点E落在抛物线上；

（3）存在点P（a，0）．如图记S梯形CQPO=S1，S梯形ADQP=S2，
S梯形AOCD=
1
2
（AO+CD）×2=3+5=8，
当PQ经过点F（2，0）时，易求S1=5，S2=3，此时S1：S2不符合条件，故a≠3．
设直线PQ的解析式为y=kx+b（k≠0），将E（2，-1），P（a，0）代入，
得
2k+b=-1
ak+b=0
，解得
k=
1
a-2
b=-
a
a-2
，
∴y=
1
a-2
x-
a
a-2
，
由y=2得x=3a-4，∴Q（3a-4，2）
∴CQ=（3a-4）-（-1）=3a-3，PO=a，
S1=
1
2
（3a-3+a）×2=4a-3，
下面分两种情形：①当S1：S2=1：3时，S1=
1
4
S梯形AOCD=
1
4
×8=2；
∴4a-3=2，解得a=
5
4
；
②当S1：S2=3：1时，S1=
3
4
S梯形AOCD=
3
4
×8=6；
∴4a-3=6，解得a=
9
4
；
综上所述：所求点P的坐标为（
5
4
，0）或（
9
4
，0）．
练习册系列答案
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如图，已知二次函数y=ax2+bx+8（a≠0）的图象与x轴交与A，B两点，与y轴交与点C，已知点A的坐标为（-2，0），sin∠ABC=
2
5
5
，点D是抛物线的顶点，直线DC交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式及其顶点D的坐标；
（2）在直线CD上是否存在一点Q，使以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；
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（2）如图2，在OC上选取一点D，将△AOD沿AD翻折，使点O落在BC边上，记为E'．
①求折痕AD所在直线的解析式；
②再作E'F∥AB，交AD于点F．若抛物线y=-
1
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x2+h过点F，求此抛物线的解析式，并判断它与直线AD的交点的个数．
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（1）求抛物线的解析式；
（2）求△ABC的面积；
（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．
如图，抛物线y=-
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x2+x+3与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，顶点为点D，对称轴l与直线BC相交于点E，与x轴相交于点F．
（1）求直线BC的解析式；
（2）设点P为该抛物线上的一个动点，以点P为圆心，r为半径作⊙P
①当点P运动到点D时，若⊙P与直线BC相交，求r的取值范围；
②若r=
4
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5
，是否存在点P使⊙P与直线BC相切？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
提示：抛物线y=ax2+bx+x（a≠0）的顶点坐标（-
b
2a
，
4ac-b2
4a
），对称轴x=-
b
2a
．
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