Question

【题目】设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________.

Answer 1

【答案】

【解析】以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，联立直线AB及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由PQ的长度可得出点P的坐标（点P在直线y=-x上找出点P的坐标），由图形的对称性结合点A、B和P的坐标可得出点P′的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论．

以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示．

联立直线AB及双曲线解析式成方程组，，
解得：，，
∴点A的坐标为（-，-），点B的坐标为（，）．
∵PQ=6，
∴OP=3，点P的坐标为（-，）．
根据图形的对称性可知：AB=OO′=PP′，
∴点P′的坐标为（-+2，+2）．
又∵点P′在双曲线y=上，
∴（-+2）（+2）=k，
解得：k=．
故答案为：．