题目内容
如图，△ABC是等边三角形，CE是外角平分线，点D在AC上，连结BD并延长与CE交于点E。
（1）求证：△ABD∽△CED；
（2）若AB=6，AD=2CD，求BE的长。
（2）若AB=6，AD=2CD，求BE的长。
解：（1）证明：∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=60°，∠ACF=120°，
∵CE是外角平分线，
∴∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ACE，
又∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△CED；
（2）作BM⊥AC于点M，AC=AB=6，
∴AM=CM=3，BM=AB·sin60°=
，
∵AD=2CD，
∴CD=2，AD=4，MD=1，
在Rt△BDM中，
BD=
，
由（1）△ABD∽△CED得，
，
∴ED=
，
∴BE=BD+ED=
。
∴∠BAC=∠ACB=60°，∠ACF=120°，
∵CE是外角平分线，
∴∠ACE=60°，
∴∠BAC=∠ACE，
又∵∠ADB=∠CDE，
∴△ABD∽△CED；
（2）作BM⊥AC于点M，AC=AB=6，
∴AM=CM=3，BM=AB·sin60°=
，∵AD=2CD，
∴CD=2，AD=4，MD=1，
在Rt△BDM中，
BD=
，由（1）△ABD∽△CED得，
，∴ED=
，∴BE=BD+ED=
。
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