Question

9．如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D是OB中点，过点D作AB的垂线交AC的延长线于点F．过点C作⊙O的切线交FD于点E．
（1）求证：CE=EF；
（2）如果sinF=$\frac{3}{5}$，EF=$\frac{5}{2}$，求AB的长．

Answer 1

分析 （1）连结OC，由CE为⊙O的切线，得到OC⊥CE，又因为FD⊥AB，推出∠3=∠F，得到结论CE=EF；
（2）根据三角函数，设出AD=3k，AF=5k，可得FD=4k，连结CB交FD于点G，由AB为⊙O直径，得到∠ACB=∠FCB=90°，推出∠F=∠B，再根据边角关系得出结论．

解答 （1）证明：如图1，连结OC，
∵CE为⊙O的切线，
∴OC⊥CE，
∴∠OCE=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∵FD⊥AB，∴∠F+∠1=90°，
又∵OC=OA，∴∠1=∠2，
∴∠3=∠F，
∴CE=EF；
（2）解：如图2∵FD⊥AB，sin∠F=$\frac{3}{5}$，
设AD=3k，AF=5k，可得FD=4k，
∵D为OB中点∴DB=k，
连结CB交FD于点G，
∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=∠FCB=90°，
∴∠F=∠B，
∵DB=k，
∴GD=$\frac{3}{4}$k，可得FG=$\frac{13}{4}$k，
∵∠FCB=90°，∴∠5+∠F=∠3+∠4，
∵∠F=∠3，∴∠4=∠5，
∴CE=EF=EG，
∵EF=$\frac{5}{2}$，∴FG=5，
∴$\frac{13k}{4}$=5，∴k=$\frac{20}{13}$，
∴AB=$\frac{80}{13}$．

点评 本题考查了切线的性质，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，解题的关键是正确的作出辅助线．