Question

（1）请阅读材料并填空：
问题：如图1，在等边三角形ABC内有一点P，且PA=2，PB=

3

，PC=1．求∠BPC的度数和等边三角形ABC的边长．
李明同学的思路是：将△BPC绕点B顺时针旋转60°，画出旋转后的图形（如图2）．连接PP′．
根据李明同学的思路，进一步思考后可求得∠BPC=

 

°，等边△ABC的边长为

 

．
（2）请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图3，在正方形ABCD内有一点P，且PA=

5

，BP=

2

，PC=1．求∠BPC的度数和正方形ABCD的边长．

Answer 1

分析：根据旋转得出AP′=CP=1，BP′=BP=

3

，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，求出∠ABP′+∠ABP=60°，得到等边△BPP′，推出PP′=

3

，∠BP′P=60°，求出∠AP′P=90°即可求出∠BPC；过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，由∠MP′B=30°，求出BM=

3

2

，P′M=

3

2

，根据勾股定理即可求出答案；
（2）求出∠BEP=

1

2

（180°-90°）=45°，根据勾股定理的逆定理求出∠AP′P=90°，推出∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°；过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F，求出FE=BF=1，AF=2，关键勾股定理即可求出AB．

解答：（1）解：∵等边△ABC，
∴∠ABC=60°，
将△BPC绕点B顺时针旋转60°得出△ABP′，
∴AP′=CP=1，BP′=BP=

3

，∠PBC=∠P′BA，∠AP′B=∠BPC，
∵∠PBC+∠ABP=∠ABC=60°，
∴∠ABP′+∠ABP=∠ABC=60°，
∴△BPP′是等边三角形，
∴PP′=

3

，∠BP′P=60°，
∵AP′=1，AP=2，
∴AP′²+PP′²=AP²，
∴∠AP′P=90°，
∴∠BPC=∠AP′B=90°+60°=150°，
过点B作BM⊥AP′，交AP′的延长线于点M，
∴∠MP′B=30°，BM=

3

2

，
由勾股定理得：P′M=

3

2

，
∴AM=1+

3

2

=

5

2

，
由勾股定理得：AB=

AM2+BM2

=

7

，
过答案为：150°，

7

．

（2）解：将△BPC绕点B逆时针旋转90°得到△AEB，
与（1）类似：可得：AE=PC=1，BE=BP=

2

，∠BPC=∠AEB，∠ABE=∠PBC，
∴∠EBP=∠EBA+∠ABP=∠ABC=90°，
∴∠BEP=

1

2

（180°-90°）=45°，
由勾股定理得：EP=2，
∵AE=1，AP=

5

，EP=2，
∴AE²+PE²=AP²，
∴∠AEP=90°，
∴∠BPC=∠AEB=90°+45°=135°，
过点B作BF⊥AE，交AE的延长线于点F；
∴∠FEB=45°，
∴FE=BF=1，
∴AF=2；
∴在Rt△ABF中，由勾股定理，得AB=

5

；
∴∠BPC=135°，正方形边长为

5

．
答：∠BPC的度数是135°，正方形ABCD的边长是

5

．

点评：本题主要考查对勾股定理及逆定理，等边三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，含30度角的 直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质等知识点的理解和掌握，正确作辅助线并能根据性质进行证明是解此题的关键．