题目内容

把一个面积为1的正方形等分成两个面积为数学公式的长方形，再把其中一个面积为数学公式的长方形等分成两个面积为数学公式的正方形，再把其中一个面积为数学公式的正方形等分成两个面积为数学公式的长方形，如此继续等分下去，请自己动手操作探究，然后观察这个图形，试利用图形所揭示的规律
（1）计算：数学公式；
（2）猜想：数学公式的结果．

解：根据把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的长方形，
再把其中一个面积为的长方形等分成两个面积为的正方形，
再把其中一个面积为的正方形等分成两个面积为的长方形，
则剩余面积为最后一次分割的面积，故利用正方形面积去掉最后一次分割后面积即可得出答案；
（1）；
=；

（2），
=．
分析：（1）根据剩余面积为最后一次分割的面积，故利用正方形面积去掉最后一次分割后面积即可得出答案；
（2）根据剩余面积为最后一次分割的面积，故利用正方形面积去掉最后一次分割后面积即可得出答案．
点评：本题主要考查了规律性和分式的加法运算，利用图象面积之间的关系得出规律是解题关键．
练习册系列答案
相关题目
如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
1
2
的矩形，接着把面积为
1
2
的矩形等分成两个面积为
1
4
的矩形精英家教网，再把面积为
1
4
的矩形等分成两个面积为
1
8
的矩形，如此进行下去．试利用图形揭示的规律计算：
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
+
1
128
+
1
256
=
 
．
（2012•闵行区二模）如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
1
2
的矩形，接着把其中一个面积为
1
2
的矩形等分成两个面积为
1
4
的矩形，再把其中一个面积为
1
4
的矩形等分成两个面积为
1
8
的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：1+
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
+
1
128
+
1
256
=
511
256
511
256
．
小明想计算出
1
2
+
1
22
+
1
23
+
1
24
+
1
25
+
1
26
+
1
27
的结果，于是设计出下列几何图形，把一个面积为2的正方形等分成两个面积为
1
2
的矩形，接着把面积为矩形等分成两个面积为
1
22
的矩形，再把面积为
1
22
的矩形等分成两个面积为
1
23
的矩形，如此进行下去，是利用图形揭示的规律计算并说出你计算时所用的数学思想：
1
2
+
1
22
+
1
23
+
1
24
+
1
25
+
1
26
+
1
27
．
把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
1
2
的长方形，再把其中一个面积为
1
2
的长方形等分成两个面积为
1
4
的正方形，再把其中一个面积为
1
4
的正方形等分成两个面积为
1
8
的长方形，如此继续等分下去，请自己动手操作探究，然后观察这个图形，试利用图形所揭示的规律
（1）计算：
1
2
+
1
22
+
1
23
+
1
24
+…+
1
28
；
（2）猜想：
1
2
+
1
22
+
1
23
+
1
24
+…+
1
2n
的结果．
如图所示，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为
1
2
的长方形，接着再把面积为
1
2
的长方形分成两个面积为
1
4
的长方形，再把面积为
1
4
的长方形分成两个面积为
1
8
的长方形，如此进行下去．
（1）第7次等分所得的一个长方形面积是多少？
（2）试利用图形揭示的规律计算：
1
2
+
1
4
+
1
8
+
1
16
+
1
32
+
1
64
+…+
1
128
．

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