Question

如图，△ABC中，∠C=90°．
（1）以直角三角形的三边为边向形外作等边三角形（如图①），探究S₁+S₂与S₃的关系；
（2）以直角三角形的三边为斜边向形外作等腰直角三角形（如图②），探究S₁+S₂与S₃的关系；
（3）以直角三角形的三边为直径向形外作半圆（如图③），探究S₁+S₂与S₃的关系．

Answer 1

分析：这三道题主要在勾股定理的基础上结合具体图形的面积公式，运用等式的性质即可得到相同的结论．

解答：解：（1）由等边三角形的性质可得：S₁=

3

4

AC²，S₂=

3

4

BC²，S₃=

3

4

AB²，
则S₁+S₂=

3

4

（AC²+BC²），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃．

（2）由等腰直角三角形的性质可得：S₁=

1

4

AC²，S₂=

1

4

BC²，S₃=

1

4

AB²，
则S₁+S₂=

1

4

（AC²+BC²），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃．

（3）由圆的面积计算公式知：S₁=

1

8

πAC²，S₂=

1

8

πBC²，S₃=

1

8

πAB²，
则S₁+S₂=

1

8

π（AC²+BC²），
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴AC²+BC²=AB²，
∴S₁+S₂=S₃．

点评：本题考查了勾股定理、等边三角形的性质及等腰直角三角形的性质，关键是熟悉各种图形的面积公式，结合勾股定理，运用等式的性质进行变形．