Question

【题目】如图，已知△ABC，按如下步骤作图：

①分别以A、C为圆心，以大于AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；

②连接MN，分别交AB、AC于点D、O；

③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE、CD．

（1）求证：四边形ADCE是菱形.

（2）当∠ACB＝90°，AC＝16，△ADC的周长为36时，直接写出四边形ADCE的面积为______．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）96

【解析】

（1）根据作图的过程可得MN为线段AC的垂直平分线，可得AE＝EC，OA=OC，AC⊥DE，根据平行线的性质可得∠ADE=∠DEC，利用AAS可证明△ADO≌△CEO，可得OD=OE，根据对角线互相垂直且平分的四边形是菱形即可得结论；（2）根据（1）可知ADCE是菱形，可得AD=CD，OA=AC=8，根据△ADC的周长可求出AD＝10，根据勾股定理得OD＝6，即可得答案．

（1）根据作图过程可知：MN是线段AC的垂直平分线，

∴AE＝EC，OA＝OC，MN⊥AC，

∴∠AOD=∠COE=90°，

∵CE∥AB，

∴∠ADE=∠DEC，

在△AOD和COE中，，

∴△ADO≌△CEO（AAS），

∴OD=OE，

∴四边形ADCE是菱形．

（2）由（1）可知四边形ADCE是菱形，

∴AD=CD，OA=AC=8，AC⊥DE，

∵△ADC的周长为36，AC＝16，

∴AD=×（36-16）=10，

∴OD===6，

∴DE=2OD=12，

∴菱形ADCE的面积=DEAC＝×12×16＝96．

故答案为：96