题目内容

如图，已知直线 $数学公式$ 与双曲线y= $数学公式$ 相交于C、D两点，与x轴，y轴分别相交于A、B两点，若CD=3，则k=________．

$\text{[math]}$
分析：将 $\text{[math]}$ 和y= $\text{[math]}$ 组成方程组，分别建立关于x和y的一元二次方程，求出C、D的水平距离和垂直距离表达式，利用勾股定理建立关于k的方程，解答即可．
解答：将 $\text{[math]}$ 和y= $\text{[math]}$ 组成方程组得， $\text{[math]}$ ，
整理得， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即3x²+12x-4k=0，
则C、D的水平距离为|x₁-x₂|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
将 $\text{[math]}$ 和y= $\text{[math]}$ 组成方程组得， $\text{[math]}$ ，
整理得4y²=3k+12y，
即4y²-12y-3k=0，
则C、D的垂直距离为|y₁-y₂|= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
由勾股定理得，16+ $\text{[math]}$ k+9+3k=3²；
解得，k=- $\text{[math]}$ ．
故答案为- $\text{[math]}$ ．
点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，将此题转化为水平距离和垂直距离是解答的关键．