Question

如图，二次函数y=x²+bx+c的图象与x轴相交于A，B，点A在原点左边，点B在原点右边，点P（1，m）（m＞0）在抛物线上，AB=2，tan∠PAB=

2

5

，
（1）求m的值；
（2）求二次函数解析式．

Answer 1

分析：（1）题目中给出了比例关系，只需要作出辅助线，利用直角三角形三角函数关系性质建立等量关系，解出m的值．
（2）求出m的值以后，可以知此函数图象过点A、P，利用这两点结合原函数解出函数关系式．

解答：解：（1）令y=0，得：x²+bx+c=0，
根据韦达定理（设x₁＞x₂）得：x₁+x₂=-b，x₁x₂=c，
∴AB²=（x₁-x₂）²=[（x₁+x₂）²-4x₁x₂]=b²-4c=4，
∴b²-4c=4①，
解方程x²+bx+c=0得：x=

-b± b2-4c

2

=

-b±2

2

，
x₁=

2-b

2

，x₂=

-2-b

2

，
∵P的横坐标为1，
∴m=1+b+c，
tan∠PAB=

1+b+c

1- -2-b 2

=

2

5

，
∴5c+4b+1=0②，
由①②得：b=

4

5

或b=-4，
由图象得：a＞0，b＞0，c＜0，
∴b=

4

5

，
∴c=-

21

25

，
∴m=1+b+c=1+

4

5

-

21

25

=

24

25

；

（2）∴二次函数解析式为：y=x²+

4

5

x-

21

25

．

点评：本题主要考查了二次函数与三角形性质的结合，利用直角三角形的性质建立等量关系，寻找解题的突破口．