Question

13、如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠D=90°，M为BC上一点，且BM=MC=DC，∠DAM=50°，求∠AMC的度数．

Answer 1

分析：可以通过作辅助线解决，延长AM交DC延长线于E，连接DM，根据条件易证得△ABM≌△ECM，可得AM=ME；
根据直角三角形斜边的中线等于其斜边的一半，可得到DM=ME，即可得各角的关系．根据三角形外角的性质即可得解．

解答：如图，延长AM交DC延长线于E，连接DM，

∵AB∥CD，
∴∠E=∠BAM=∠DAB-∠DAM=90°-50°=40°，
∵BM=MC，∠ABM=∠EMC，
∴△ABM≌△ECM（AAS），
∴AM=ME，即M为AE的中点，
∵∠ADC=90°，
∴MD=ME；
又∵CD=CM，所以∠1=∠2=∠E=40°，
∴∠AMD=∠1+∠E=40°=80°，
∴∠AMC=∠AMD+∠DMC=80°+40°=120°．

点评：本题考查了直角梯形的性质，涉及到全等三角形和判定和性质、直角三角形的性质、三角形外角性质等知识点，是一道考查学生综合能力的题型．解题的关键是正确作出辅助线．