Question

10．已知关于x的一元二次方程（m-2）x²+（2m+1）x+m=0有两个实数根x₁，x₂．
（1）求m的取值范围．
（2）若|x₁|=|x₂|，求m的值及方程的根．

Answer 1

分析 （1）根据一元二次方程的定义结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围；
（2）由|x₁|=|x₂|，可得x₁=x₂或x₁=-x₂，当x₁=x₂时，利用△=0可求出m的值，利用x₁=x₂=-$\frac{b}{2a}$可求出方程的解；当x₁=-x₂时，由根与系数的关系可得出x₁+x₂=-$\frac{2m+1}{m-2}$=0，解之即可得出m的值，结合（1）可知此情况不存在．综上即可得出结论．

解答 解：（1）∵关于x的一元二次方程（m-2）x²+（2m+1）x+m=0有两个实数根x₁，x₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{m-2≠0}\\{△=（2m+1）^{2}-4m（m-2）≥0}\end{array}\right.$，
解得：m≥-$\frac{1}{12}$且m≠2．
（2）由|x₁|=|x₂|，可得：x₁=x₂或x₁=-x₂．
当x₁=x₂时，△=（2m+1）²-4m（m-2）=0，
解得：m=-$\frac{1}{12}$，
此时x₁=x₂=-$\frac{2m+1}{2（m-2）}$=$\frac{1}{5}$；
当x₁=-x₂时，x₁+x₂=-$\frac{2m+1}{m-2}$=0，
∴m=-$\frac{1}{2}$，
∵m≥-$\frac{1}{12}$且m≠2，
∴此时方程无解．
综上所述：若|x₁|=|x₂|，m的值为-$\frac{1}{12}$，方程的根为x₁=x₂=$\frac{1}{5}$．

点评 本题考查了一元二次方程的定义、根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）根据一元二次方程的定义结合根的判别式，找出关于m的一元一次不等式组；（2）分x₁=x₂或x₁=-x₂两种情况求出m的值．