Question

在△ABC中，∠ACB＝，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．

(1)当直线MN绕点C旋转到如图(1)的位置时，求证：

①△ADC≌△CEB，②DE＝AD＋BE；

(2)当直线MN绕点C旋转到如图(2)的位置时，求证：DE＝AD－BE；

(3)当直线MN绕点C旋转到如图(3)的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明．

Answer 1

答案：
解析：

(1)如图 　　①∵∠ADC＝∠ACB＝ 　　∴∠CAD＋∠ACD＝ 　　∴∠BCE＋∠ACD＝ 　　∴∠CAD＝∠BCE 　　∵AC＝BC　　∠ADC＝∠CEB＝ 　　∴△ADC≌△CEB. 　　②∵△ADC≌△CEB 　　∴CE＝AD，CD＝BE 　　∴DE＝CE＋CD＝AD＋BE 　　(2)如图∵∠ACB＝∠CEB＝ 　　∴∠ACD＋∠BCE＝∠CBE＋∠BCE＝ 　　∴∠ACD＝∠CBE 　　又∵AC＝BC　　∠ADC＝∠CEB＝ 　　∴△ACD≌△CBE 　　∴CE＝AD，CD＝BE 　　∴DE＝CE－CD＝AD－BE. 　　(3)当MN旋转到如图的位置时，AD、DE、BE所满足的等量关系是DE＝BE－AD(或AD＝BE－DE，BE＝AD＋DE等) 　　∵∠ACB＝∠CEB＝ 　　∴∠ACD＋∠BCE＝∠CBE＋∠BCE＝ 　　∴∠ACD＝∠CBE， 　　又∵AC＝BC，∠ADC＝∠CEB＝ 　　∴△ACD≌△CBE， 　　∴AD＝CE，CD＝BE， 　　∴DE＝CD－CE＝BE－AD．