题目内容

在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线解析式；
（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，△MOA的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出当m为何值时，S有最大值，这个最大值是多少？
（3）若点Q是直线y=-x上的动点，过Q做y轴的平行线交抛物线于点P，判断有几个Q能使以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形的点，直接写出相应的点Q的坐标．

解：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴抛物线解析式为y= $\text{[math]}$ x²+x-4；

（2）∵点M的横坐标为m，
∴点M的纵坐标为 $\text{[math]}$ m²+m-4，
又∵A（-4，0），
∴AO=0-（-4）=4，
∴S= $\text{[math]}$ ×4×| $\text{[math]}$ m²+m-4|=-（m²+2m-8）=-m²-2m+8，
∵S=-（m²+2m-8）=-（m+1）²+9，点M为第三象限内抛物线上一动点，
∴当m=-1时，S有最大值，最大值为S=9；
故答案为：S关于m的函数关系式为S=-m²-2m+8，当m=-1时，S有最大值9；

（3）∵点Q是直线y=-x上的动点，
∴设点Q的坐标为（a，-a），
∵点P在抛物线上，且PQ∥y轴，
∴点P的坐标为（a， $\text{[math]}$ a²+a-4），
∴PQ=-a-（ $\text{[math]}$ a²+a-4）=- $\text{[math]}$ a²-2a+4，
又∵OB=0-（-4）=4，
以点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形，
∴|PQ|=OB，
即|- $\text{[math]}$ a²-2a+4|=4，
①- $\text{[math]}$ a²-2a+4=4时，整理得，a²+4a=0，
解得a=0（舍去）或a=-4，
-a=4，
所以点Q坐标为（-4，4），
②- $\text{[math]}$ a²-2a+4=-4时，整理得，a²+4a-16=0，
解得a=-2±2 $\text{[math]}$ ，
所以点Q的坐标为（-2+2 $\text{[math]}$ ，2-2 $\text{[math]}$ ）或（-2-2 $\text{[math]}$ ，2+2 $\text{[math]}$ ），
综上所述，Q坐标为（-4，4）或（-2+2 $\text{[math]}$ ，2-2 $\text{[math]}$ ）或（-2-2 $\text{[math]}$ ，2+2 $\text{[math]}$ ）时，使点P，Q，B，O为顶点的四边形是平行四边形．
分析：（1）设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，然后把点A、B、C的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求解即可；
（2）利用抛物线的解析式表示出点M的纵坐标，从而得到点M到x轴的距离，然后根据三角形面积公式表示并整理即可得解，根据抛物线的性质求出第三象限内二次函数的最值，然后即可得解；
（3）利用直线与抛物线的解析式表示出点P、Q的坐标，然后求出PQ的长度，再根据平行四边形的对边相等列出算式，然后解关于x的一元二次方程即可得解．
点评：本题是对二次函数的综合考查，有待定系数法求二次函数解析式，三角形的面积，二次函数的最值问题，平行四边形的对边相等的性质，平面直角坐标系中两点间的距离的表示，综合性较强，但难度不大，仔细分析便不难求解．