Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知的直角顶点，斜边在轴上，且点的坐标为，点是的中点，点是边上的一个动点，抛物线过，，三点．

（1）当时，

①求抛物线的解析式；

②平行于对称轴的直线与轴，，分别交于点，，，若以点，，为顶点的三角形与相似，求点的值．

（2）以为等腰三角形顶角顶点，为腰构造等腰，且点落在轴上.若在轴上满足条件的点有且只有一个时，请直接写出点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）①；②的值为或0；（2）或．

【解析】

（1）①先由A、C的坐标求出点D的坐标，由勾股定理求出AC，通过三角函数可求出DE，即可得到E点坐标，然后将D、E代入即可；②分和两种情况讨论，根据三角函数求解；

（2）分两种情况：①EG⊥AB，②以E为圆心DE为半径作圆，交AB延长线于M，过E作EH⊥AB于H， D、E、M三点共线时．

（1）①∵点，点，

∴，，

在中，，

∵点是的中点，

∴点的坐标为，，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

∴的坐标为，即，

把和D代入，

得，

解得，

∴抛物线的解析式为.

②当时，可得，

解得，

∴；

当时，可得，

解得，

∴.

综上所述，的值为或0.

（2）若在轴上满足条件的点有且只有一个，则有两种情况，

第一种情况，EG⊥AB，如图，

∠A+∠B=90°，∠B+∠BCO=90°，∠B+∠BEG=90°，

∴∠A=∠BCO=∠BEG，

∴△AOC∽△COB，△AOC∽△COB，

∴，，

∴，即，

，即，

设，则，，

在直角三角形CDE中，，

∴，

解得或（舍），

，

由，得，，

∴，

∴E点坐标为，

第二种情况如图，以E为圆心DE为半径作圆，交AB延长线于M，过E作EH⊥AB于H， D、E、M三点共线时，

则E为DM的中点，

由D可知E的纵坐标为3，即EH=3，

由题可知△EHB∽△COB，

∴即,

∴HB=4，OH=OB-HB=16-4=12，

∴E点坐标为，

∴答案为或．