图1是以AB为直径的半圆形纸片.AB=4cm.沿着垂直于AB的半径OC剪开.将扇形OAC沿AB方向平移至扇形O′A′C′.OC交弧A′C′于点D.O′C′交弧BC于点E.设AA′=x,(1)如图2.当O′是OB的中点时.写出阴影部分的面积S=2cm2,弧BE的长为$\frac{2π}{3}$cm,(2)探究:①连接DE.当x为何值时.四边形DOO′E是正方形.并证明你的结论,②� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

2．图1是以AB为直径的半圆形纸片，AB=4cm，沿着垂直于AB的半径OC剪开，将扇形OAC沿AB方向平移至扇形O′A′C′，OC交弧A′C′于点D，O′C′交弧BC于点E，设AA′=x；
（1）如图2，当O′是OB的中点时，写出阴影部分的面积S=2cm²；弧BE的长为$\frac{2π}{3}$cm；
（2）探究：
①连接DE，当x为何值时，四边形DOO′E是正方形，并证明你的结论；
②当x=1时，四边形DOO′E的面积等于$\sqrt{3}$cm²；
③设弧BC与弧A′C′相交于点F，连接OF，是否存在这样的x，使OF与弧A′C′相切？若存在，直接写出x的值；若不存在，请说明理由．

分析（1）由已知求得半径，圆心角，根据扇形的面积、弧长的公式，求得结果；
（2）①由四边形DOO′E是正方形，得到四边形的四条边相等，得到等腰直角三角形，由勾股定理求得结果；
②根据矩形的面积公式和勾股定理列方程组求解；
③根据切线的性质和等圆的半径相等，得到等腰直角三角形，根据勾股定理求解．

解答解：（1）如图1连接OE，
∵OB=$\frac{1}{2}$AB=4 OO′=$\frac{1}{2}$OB′=$\frac{1}{2}$OE，
∴∠OBO′=30°，
∴∠EOO′=60°，
∴$\widehat{BE}$=$\frac{60•π•2}{180}$=$\frac{2π}{3}$cm，
S_阴影=S_扇形OAC+S_{矩形COO′C′}-S_{扇形O′A′E}=S_矩形=2×1=2，
故答案为；2，$\frac{2π}{3}$；

（2）如图2①x=$\sqrt{2}$时，四边形DOO′E是正方形，
连接OE，∵OE=DO′=2，∠DOO′=∠EO′O=90°，
∴OD=EO′，
∵DO∥EO′，
∴四边形DOO′E是矩形，
当OO′=OD时，矩形DOO′E是正方形，
∴OO′=AA′=$\sqrt{2}$，
∴当x=$\sqrt{2}$时，四边形DOO′E是正方形，
②x=1时，四边形DOO′E的面积等于$\sqrt{3}$cm^2，
设OO′=m，O′E=n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{mn=\sqrt{3}}\\{{m}^{2}{+n}^{2}=4}\end{array}\right.$∴$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{m=\sqrt{3}}\\{n=1}\end{array}\right.$，
∴OO′=AA′=1或$\sqrt{3}$，故答案：1或$\sqrt{3}$；
③存在，
如图3，连接O′F，
∵OF与⊙O′相切，
∴∠OFO′=90°，
∵OF=O′F=2，
∴OO′=2$\sqrt{2}$，
∴AA′=2$\sqrt{2}$，
∴当x=2$\sqrt{2}$时，OFF与⊙O′相切．