Question

【题目】如图，四边形ABCD中，AB=AD=CD，以AB为直径的⊙O经过点C，连接AC，OD交于点E．

（1）证明：OD∥BC；

（2）若tan∠ABC=2，证明：DA与⊙O相切；

（3）在（2）条件下，连接BD交于⊙O于点F，连接EF，若BC=1，求EF的长．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）

【解析】（1）连接OC，证△OAD≌△OCD得∠ADO=∠CDO，由AD=CD知DE⊥AC，再由AB为直径知BC⊥AC，从而得OD∥BC；

（2）根据tan∠ABC=2可设BC=a、则AC=2a、AD=AB=，证OE为中位线知OE=a、AE=CE=AC=a，进一步求得DE==2a，在△AOD中利用勾股定理逆定理证∠OAD=90°即可得；

（3）先证△AFD∽△BAD得DFBD=AD2①，再证△AED∽△OAD得ODDE=AD2②，由①②得DFBD=ODDE，即，结合∠EDF=∠BDO知△EDF∽△BDO，据此可得，结合（2）可得相关线段的长，代入计算可得．

（1）如图，连接OC，

在△OAD和△OCD中，

，

∴△OAD≌△OCD（SSS），

∴∠ADO=∠CDO，

又AD=CD，

∴DE⊥AC，

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ACB=90°，即BC⊥AC，

∴OD∥BC；

（2）∵tan∠ABC==2，

∴设BC=a、则AC=2a，

∴AD=AB=，

∵OE∥BC，且AO=BO，

∴OE=BC=a，AE=CE=AC=a，

在△AED中，DE==2a，

在△AOD中，AO2+AD2=（）2+（a）2=a2，

OD2=（OF+DF）2=（a+2a）2=a2，

∴AO2+AD2=OD2，

∴∠OAD=90°，

则DA与⊙O相切；

（3）如图，连接AF，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFD=∠BAD=90°，

∵∠ADF=∠BDA，

∴△AFD∽△BAD，

∴，即DFBD=AD2①，

又∵∠AED=∠OAD=90°，∠ADE=∠ODA，

∴△AED∽△OAD，

∴，即ODDE=AD2②，

由①②可得DFBD=ODDE，即，

又∵∠EDF=∠BDO，

∴△EDF∽△BDO，

∴，

∵BC=1，

∴AB=AD=、OD=、ED=2、BD=、OB=，

∴，

∴EF=.