Question

如图，已知○为坐标原点，∠AOB＝30°，∠ABO＝90°，且点A的坐标为(2，0)．

(1)求点B的坐标；

(2)若二次函数y＝ax＋bx＋c的图象经过A、B、O三点，求此二次函数的解析式；

(3)在(2)中的二次函数图象的OB段(不包括点O、B)上，是否存在一点C，使得四边形ABCO的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时点C的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)在Rt△OAB中，∵∠AOB＝30°，∴OB＝． 　　过点B作BD垂直于x轴，垂足为D，则OD＝，BD＝，∴点B的坐标为(，)．　3分 　　(2)将A(2，0)、B(，)、O(0，0)三点的坐标代入y＝ax2＋bx＋c，得　1分 　　解有a＝，b＝，c＝0． 　　∴所求二次函数解析式是y＝x2＋x．　2分 　　(3)设存在点C(x，x2＋x)(其中0＜x＜)，使四边形ABCO面积最大． 　　∵△OAB面积为定值， 　　∴只要△OBC面积最大，四边形ABCO面积就最大．　1分 　　过点C作x轴的垂线CE，垂足为E，交OB于点F，则 　　S△OBC＝S△OCF ＋S△BCF＝＝， 　　而|CF|＝yC－yF＝， 　　∴S△OBC＝．　3分 　　∴当x＝时，△OBC面积最大，最大面积为．　1分 　　此时，点C坐标为()，四边形ABCO的面积为．　1分