Question

.(12分)如图1：⊙O的直径为AB，过半径OA的中点G作弦CE⊥AB，在上取一点D，分别作直线CD、ED交直线AB于点F、M。

（1）求∠COA和∠FDM的度数；(3分)

（2）求证：△FDM∽△COM；(4分)

（3）如图2：若将垂足G改取为半径OB上任意一点，点D改取在上，仍作直线CD、ED，分别交直线AB于点F、M，试判断：此时是否仍有△FDM∽△COM？证明你的结论。(5分)

            

 

Answer 1

（1）∵AB为直径，CE⊥AB

          ∴＝，CG＝EG

          在Rt△COG中，

∵OG＝OC

          ∴∠OCG＝30⁰，∠COA＝60⁰

          又∵∠CDE的度数

＝弧CAE的度数

＝的度数

＝∠COA的度数＝60⁰

          ∴∠FDM＝180⁰－∠CDE＝120⁰

（2）证明：

∵∠COM＝180⁰－∠COA＝120⁰

 ∴∠COM＝∠FDM

在Rt△CGM和Rt△EGM中

  ∵　　∴Rt△CGM≌Rt△EGM　　∴∠GMC＝∠GME

  又∠DMF＝∠GME　　∴∠OMC＝∠DMF　　∴△FDM∽△COM

（3）解：结论仍成立。

∵∠FDM＝180⁰－∠CDE

 ∴∠CDE的度数＝弧CAE的度数＝的度数＝∠COA的度数

 ∴∠FDM＝180⁰－∠COA＝∠COM

       ∵AB为直径，CE⊥AB； ∴在Rt△CGM和Rt△EGM中

∵

  ∴Rt△CGM≌Rt△EGM

  ∴∠GMC＝∠GME

  ∴△FDM∽△COM

 

 解析:略