题目内容

如图，已知：点A₁、A₂、A₃、…在平面直角坐标系x轴上，点B₁、B₂、B₃、…在直线 $数学公式$ 上，△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均为等边三角形，求A₂₀₁₃的横坐标________．

（2²⁰¹³-1） $\text{[math]}$
分析：首先设直线 $\text{[math]}$ 分别于x轴、y轴于点C、D，即可求得点C与D的坐标，即可求得∠OCD的度数，又由△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均为等边三角形，易求得OB₁=OC= $\text{[math]}$ ，A₁B₁=A₁C，A₂B₂=A₂C，则可得规律：OA_n=（2ⁿ-1） $\text{[math]}$ ．继而求得答案．
解答：

解：设直线 $\text{[math]}$ 分别于x轴、y轴于点C、D，
∴点C（- $\text{[math]}$ ，0），点D（0，1），
∴OC= $\text{[math]}$ ，OD=1，
∴tan∠OCD= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴∠OCD=30°，
∵△OA₁B₁、△A₁B₂A₂、△A₂B₃A₃…均为等边三角形，
∴∠A₁OB₁=∠A₂A₁B₂=∠A₃A₂B₃=60°，
∴∠OB₁C=∠A₁B₂C=∠A₂B₃C=∠OCD=30°，
∴OB₁=OC= $\text{[math]}$ ，A₁B₂=A₁C，A₂B₃=A₂C，
∴OA₁=OB₁= $\text{[math]}$ ，OA₂=OA₁+A₁A₂=OA₁+A₁B₁= $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ =3 $\text{[math]}$ ，
同理：OA₃=7 $\text{[math]}$ ，OA₄=15 $\text{[math]}$ ，
∴OA_n=（2ⁿ-1） $\text{[math]}$ ．
∴OA₂₀₁₃=（2²⁰¹³-1） $\text{[math]}$ ．
故答案为：（2²⁰¹³-1） $\text{[math]}$ ．
点评：此题考查了一次函数的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质以及三角函数的知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．