(1)已知一元二次方程x2+px+q=0(p2﹣4q≥0)的两根为x1.x2,求证:x1+x2=﹣p.x1•x2=q．(2)已知抛物线y=x2+px+q与x轴交于A.B两点.且过点.设线段AB的长为d.当p为何值时.d2取得最小值.并求出最小值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

（1）已知一元二次方程x²+px+q=0（p²﹣4q≥0）的两根为x₁、x₂；求证：x₁+x₂=﹣p，x₁•x₂=q．
（2）已知抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B两点，且过点（﹣1，﹣1），设线段AB的长为d，当p为何值时，d²取得最小值，并求出最小值．

（1）证明：∵a=1，b=p，c=q，p²﹣4q≥0，
∴。
（2）解：把（﹣1，﹣1）代入y=x²+px+q得p﹣q=2，即q=p﹣2。
设抛物线y=x²+px+q与x轴交于A、B的坐标分别为（x₁，0）、（x₂，0）。
∵d=|x₁﹣x₂|，
∴d²=（x₁﹣x₂）²=（x₁+x₂）²﹣4 x₁•x₂=p²﹣4q=p²﹣4p+8=（p﹣2）²+4。
∴当p=2时，d ²的最小值是4。