Question

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线，BM平分∠ABC交AE于点M，经过B，M两点的⊙O交BC于点G，交AB于点F，FB恰为⊙O的直径．
（1）求证：AE与⊙O相切；
（2）当BC=4，cosC=

1

3

时，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）连接OM，证明OM∥BE，再结合等腰三角形的性质说明AE⊥BE，进而证明OM⊥AE；
（2）结合已知求出AB，再证明△AOM∽△ABE，利用相似三角形的性质计算．

解答：（1）证明：连接OM，则OM=OB
∴∠1=∠2
∵BM平分∠ABC
∴∠1=∠3
∴∠2=∠3
∴OM∥BC
∴∠AMO=∠AEB
在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴AE⊥BC
∴∠AEB=90°
∴∠AMO=90°
∴OM⊥AE
∵点M在圆O上，
∴AE与⊙O相切；

（2）解：在△ABC中，AB=AC，AE是角平分线
∴BE=

1

2

BC，∠ABC=∠C
∵BC=4，cosC=

1

3

∴BE=2，cos∠ABC=

1

3

在△ABE中，∠AEB=90°
∴AB=

BE

cos∠ABC

=6
设⊙O的半径为r，则AO=6-r
∵OM∥BC
∴△AOM∽△ABE
∴

OM

BE

=

AO

AB

∴

r

2

=

6-r

6

解得r=

3

2

∴⊙O的半径为

3

2

．

点评：本题是小综合题，考查等腰三角形，平行线，角平分线，直线和圆的位置关系，相似三角形等知识点．