题目内容
10．如果一个多位自然数的任意两个相邻数位上，左边数位上的数总比右边数位上数大1，那么我们把这样的自然数叫做“妙数”．例如：321，6543，98，…都是“妙数”．（1）若某个“妙数”恰好等于其个位数的153倍，则这个“妙数”为765．
（2）证明：任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果一定能被11整除．
（3）在某个三位“妙数”的左侧放置一个一位自然数m作为千位上的数字，从而得到一新的四位自然数A，且m大于自然数A百位上的数字，是否存在一个一位自然数n，使得自然数（9A+n）各数位上的数字全都相同？若存在请求出m和n的值；若不存在，请说明理由．
分析 （1）设这个“妙数”个位数字为x，根据题意判断“妙数”的尾位数，从而得知这个“妙数”为3位数，列出方程100（x+2）+10（x+1）+x=153x，求解可得；
（2）设四位“妙数”的个位为x、两位“妙数”的个位为y，分别表示出四位“妙数”和两位“妙数”，再将四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1的结果除以11判断结果是否为整数即可；
（3）设三位“妙数”的个位为z，可知A=1000m+111z+210，继而可得9A+n=9000m+999z+1890+n=1000（9m+z+1）+800+90+n-z，由-8≤n-z≤9、1000（9m+z+1）≤1000（9×9+9+1）=91000知其百位数一定是8，且该数为5位数，若存在则该数为88888，从而得出$\left\{\begin{array}{l}{1000（9m+z+1）=88000}\\{90+n-z=88}\end{array}\right.$即9m+z=87、n-z=-2，由m＞z+2知z＜m-2，而z=87-9m＜m-2，解之可得m＞8.9，即可得m值，进一步即可得答案．
解答 解：（1）设这个“妙数”个位数字为x，
若这个“妙数”为4位数，则其个位数字最大为6，根据题意可知这个“妙数”最大为6×153=918，不合题意；
∴这个“妙数”为3位数，根据题意得：100（x+2）+10（x+1）+x=153x，
解得：x=5，
则这个“妙数”为765，
故答案为：765；
（2）由题意，设四位“妙数”的个位为x，则此数为1000（x+3）+100（x+2）+10（x+1）+x=1111x+3210，
设两位“妙数”的个位为y，则此数为10（y+1）+y=11y+10，
∴$\frac{1111x+3210-（11y+10）+1}{11}$=$\frac{11（101x-y）+3201}{11}$=101x-y+291，
∵x、y为整数，
∴101x-y+291也为整数，
∴任意一个四位“妙数”减去任意一个两位“妙数”之差再加上1得到的结果一定能被11整除；
（3）设三位“妙数”的个位为z，由题意，得：
A=1000m+100（z+2）+10（z+1）+z=1000m+111z+210，
∴9A+n=9000m+999z+1890+n
=9000m+1000z+1890+n-z
=1000（9m+z+1）+800+90+n-z，
∵m、n是一位自然数，0≤z≤9，且z为整数，
∴-8≤n-z≤9，
∵9A+n的百位为8，且1000（9m+z+1）≤1000（9×9+9+1）=91000，
∴9A+n为五位数，且9A+n=88888，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1000（9m+z+1）=88000}\\{90+n-z=88}\end{array}\right.$，
∴9m+z=87，n-z=-2，
∵m＞z+2，
∴z＜m-2，
∴z=87-9m＜m-2，
∴m＞8.9，
∵m是一个自然数，
∴m=9，
于是z=6，n=4，
答：m=9，n=4．
点评 本题主要考查因式分解的应用及新定义下数字的规律，理解新定义是解题的根本，将9A+n分解成1000（9m+z+1）+800+90+n-z并判断出其百位数是解题的关键．
数轴上有b，0，1，a的四个数，如图所示，已知|a|=|b|，化简：|b+1|+|$\frac{a}{b}$|-|a+b|．| A． | 如果一个数不是正数，那么它一定是负数 | |
| B． | 正数和负数统称有理数 | |
| C． | 分数和负数统称有理数 | |
| D． | 在有理数中，存在最小的正整数和最大的负整数 |
如图，∠2+∠3+∠4=318°，则∠1=42°．| 星期 | 一 | 二 | 三 | 四 | 五 | 六 |
| 每股涨跌 （与前一天相比） | -1.5 | -1 | +1.5 | +0.5 | +1 | -0.5 |