Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与y轴交于点C，与x轴交于A、B两点，其图像顶点为D， OB＝OC ，tan∠ACO＝．

（1）填空：点A的坐标(    ,    ) 、点B的坐标(     ,    )；

（2）求二次函数及直线CD的解析式；

（3）直线CD与x轴交于点E，是否存在点F，使以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）A（－1，0）、B( 3 , 0 );                          ………………2分

   （2）∵点A、B在二次函数的图象上

          ∴得：

          ∴二次函数解析式为                  ………4分

∵          

            ∴ 顶点D（1，4）                           ………………5分

设直线CD的解析式为：

              得：

   ∴直线CD的解析式为：             ………………7分

       （3） 当时，

                   解得：

             ∴ E（－3，0）                           ………………8分

           存在点F， 使以A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形

       有三种情况：

①     以AC、AE为邻边：

则 

     ∵

     ∴ F（—2，3）                    ………………9分

②     以EC、AE为邻边：

则  

     ∵

     ∴ F（2，3）                     ………………10分

③     以AC、EC为邻边：

过F作  则△EGF≌△AOC

∴ 

∵ F在第三象限

∴ F（－4，-3）                ………………11分

综上所述：点F的坐标为（2，3）或（—2，3）或（－4，-3） ………12分