Question

已知：如图，AD=DC=BC，∠BCD=2∠BAD．求证：∠ABC=120°-∠BAD．

Answer 1

证明：连接AC，过点D作AC的垂线，垂足为点M，延长MD交AB于E，连接EC．
∵AD=DC，DM⊥AC，
∴DM平分AC，
∴DM为AC的中垂线，
∵E在MD上，
∴AE=CE．
在△DCE与△DAE中，
，
∴△DCE≌△DAE，
∴∠DCE=∠DAE，∠DEC=∠DEA，
∵∠BCD=2∠BAD，
∴∠BCE=∠DCE=∠DAE．
在△DCE与△BCE中，
，
∴△DCE≌△BCE，
∴∠DEC=∠BEC，
∴∠DEC=∠DEA=∠BEC，
又∵∠DEC+∠DEA+∠BEC=180°，
∴∠DEC=∠DEA=∠BEC=60°，
∵∠ABC=180°-∠BEC-∠BCE，
∴∠ABC=180°-60°-∠BAD=120°-∠BAD．
即∠ABC=120°-∠BAD．
分析：连接AC，过点D作AC的垂线，垂足为点M，由等腰三角形的性质可知DM为AC的中垂线，延长MD交AB于E，连接CE，利用SSS证明△DCE≌△DAE，再运用SAS证明△DCE≌△BCE，得出∠BEC=60°，然后利用三角形内角和证明∠ABC=120°-∠BAD．
点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，综合性较强，有一定难度，正确地作出辅助线是解题的关键．