Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线，过点和点，与y轴交于点C，连接AC交x轴于点D，连接OA，OB

求抛物线的函数表达式；

求点D的坐标；

的大小是______；

将绕点O旋转，旋转后点C的对应点是点，点D的对应点是点，直线与直线交于点M，在旋转过程中，当点M与点重合时，请直接写出点M到AB的距离．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．（4）或．

【解析】

（1）将点和点代入函数解析式，解方程即可得出答案；

（2）根据抛物线与y轴交于点C，可求出点C坐标为，再根据点，用待定系数法求出直线AC的解析式，将y=0代入直线AC的解析式，即可求出点D的坐标；

（3）连接AB，根据点A、B、O三点的坐标可分别求出线段，，，根据勾股定理逆定理可得

；

（4）过点M作于点H，则MH的长为点M到AB的距离；分两种情况讨论，当点M与点重合且在y轴右侧时，根据旋转以及点M与点重合可得，可得，，，可得出，所以∽，易证；设，则，根据勾股定理得出，解出符合条件的的值，再根据面积法可得；当点M与点重合且在y轴左侧时用同样的方法可得出的值.

解：抛物线过点和点

解得：

抛物线的函数表达式为：

当时，

设直线AC解析式为：

解得：

直线AC解析式为

当时，，解得：

如图1，连接AB

，

，，

故答案为：．

过点M作于点H，则MH的长为点M到AB的距离．

如图2，当点M与点重合且在y轴右侧时，

绕点O旋转得即

，，

，，

即

，

∽

，

，即

设，则，

在中，

解得：舍去，

，

如图3，当点M与点重合且在y轴左侧时，

即

同理可证：∽

，

，即

设，则，

在中，

解得：，舍去

，

综上所述，点M到AB的距离为或．