Question

如图，在直角坐标系x O y中，二次函数的图像与x轴、y轴的公共点分别为A（5，0）、B，点C在这个二次函数的图像上，且横坐标为3．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）求∠BAC的正切值；

（3）如果点D在这个二次函数的图像上，且∠DAC = 45°，求点D的坐标．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：解：（1）∵ 二次函数的图像经过点A（5，0），

∴ ．

解得 ．

∴ 二次函数的解析式是

（2）当 x = 0时，得 y = 5．∴ B（0，5）．

当 x = 3时，得 ，∴ C（3，6）．

联结BC．

∵ ，

，

，

∴ ．

∴ ．

∴ ．

（3）设D（m，n）．

过点D作DE⊥x轴，垂足为点E．则 ，DE = n．

∵ A（5，0），B（0，5），∴ OA = OB．

又∵ ，∴ ，

即得 ∠DAE +∠BAD = 45º．

又∵ ∠DAC = 45º，即 ∠BAD +∠BAC = 45º，

∴ ∠DAE =∠BAC．

又∵ ∠DEA =∠ACB = 90º，

∴ △DAE∽△BAC．

∴ ．

∴ ．即得 ．

∵ 点D在二次函数的图像上，

∴ ．

解得 ，m₂ = 5（不合题意，舍去）．

∴ ．

∴ ．

考点：二次函数的解析式和三角函数

点评：该题是常考题，将二次函数的图像和二次函数值联系在一起，考查学生对二次函数的系数和三角函数值的求解方法，要求学生必须掌握。