Question

已知：矩形ABCD的对角线AC、BD的长是关于x的方程的两个实数根．
（1）求m的值；（2）直接写出矩形面积的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由于矩形的对角线相等，那么△=0，解关于m的一元二次方程可得m=3或-1，而AC、BD为正数，易求m=3；
（2）当矩形的对角线固定，矩形的长宽相等时，面积最大，先把m=3代入原方程，求出对角线，再设边长为x，进而可得x²=，就是面积．
解答：解：（1）由矩形ABCD的对角线AC=BD得△=0，
所以，
解得m=3或-1，
而AC、BD为正数，
∴m=3；       
（2）当矩形为正方形时，面积最大，
把m=3代入原方程，可得x²-3x+=0，
解得x=，
即AC=BD=，
设正方形的边长为x，则
2x²=，
∴x²=，
矩形面积的最大值=．
点评：本题考查了矩形的性质、根的判别式，解题的关键是知道当矩形的对角线固定，矩形为正方形时面积最大．