Question

如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT＝30°，AE＝3，MN＝2.

(1)求∠COB的度数；(2)求⊙O的半径R；

(3)点F在⊙O上(是劣弧)，且EF＝5，△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E、F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点也在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．

Answer 1

解：(1)∵AE切⊙O于点E，∴OE⊥AE，

∵OB⊥AT，∴在△CAE和△COB中，∠AEC＝∠CBO＝90°，

而∠BCO＝∠ACE，∴∠COB＝∠A＝30°.(3分)

图(1)

(2)在Rt△ACE中，AE＝3，∠A＝30°，

∴EC＝AE·tan30°＝3.

如图(1)，连接OM，

在Rt△MOB中，OM＝R，MB＝＝，

∴OB＝＝.

在Rt△COB中，∠COB＝30°，

∴OC＝.

∵OC＋EC＝R，∴·＋3＝R

整理得R²＋18R－115＝0，即(R＋23)(R－5)＝0，

∴R＝－23(不符合题意，舍去)，或R＝5，∴R＝5.(8分)

(3)在EF的同一侧，满足题意的三角形共有6个，如图(2)(3)(4)，每个图有2个满足题意的三角形．

能找出另一个顶点也在⊙O上的三角形，如图(1)，延长EO交⊙O于D，连接DF，则△DFE为符合条件 的三角形．

图(2)　　　 　图(3)　　　图(4)

由题意得，△DFE∽△OBC.

由(2)得，DE＝2R＝10，OC＝＝2，∴＝＝＝5.(14分)