Question

20．如图，反比例函数y=$\frac{3}{2x}$的图象上有一动点A，连接AO并延长交图象的另一支于点B，在第二象限内有一点C，满足AC=BC，当点A运动时，点C始终在函数y=$\frac{k}{x}$的图象上运动，tan∠CAB=2，则关于x的方程x²-5x+k=0的解为x₁=-1，x₂=6．

Answer 1

分析 连接OC，过点A作AE⊥x轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，通过角的计算找出∠AOE=∠COF，结合“∠AEO=90°，∠CFO=90°”可得出△AOE∽△COF，根据相似三角形的性质得出$\frac{AE}{CF}$=$\frac{OE}{OF}$=$\frac{AO}{CO}$，再由tan∠CAB=$\frac{OC}{OA}$=2，可得出CF•OF的值，把k的值代入方程，求出x的值即可．

解答 解：连接OC，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CF⊥y轴于点F，如图所示，
∵由直线AB与反比例函数y=$\frac{3}{2x}$的对称性可知A、B点关于O点对称，
∴AO=BO．
又∵AC=BC，
∴CO⊥AB．
∵∠AOE+∠AOF=90°，∠AOF+∠COF=90°，
∴∠AOE=∠COF，
又∵∠AEO=90°，∠CFO=90°，
∴△AOE∽△COF，
∴$\frac{AE}{CF}$=$\frac{OE}{OF}$=$\frac{AO}{CO}$，
∵tan∠CAB=$\frac{OC}{OA}$=2，
∴CF=2AE，OF=2OE．
又∵AE•OE=$\frac{3}{2}$，CF•OF=|k|，
∴k=±6．
∵点C在第二象限，
∴k=-6，
∴关于x的方程x²-5x+k=0可化为x²-5x-6=0，解得x₁=-1，x₂=6．
故答案为：x₁=-1，x₂=6．

点评 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质以及相似三角形的判定及性质，解题的关键是求出CF•OF=6．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，巧妙的利用了相似三角形的性质找出对应边的比例，再结合反比例函数图象上点的坐标特征找出结论．