Question

在学习扇形的面积公式，同学们得到扇形的面积公式S扇=

n

360

•πR2=

1

2

C1R，扇形有人也叫它“曲边三角形”，其面积公式S扇=

1

2

C1R类似于三角形的面积公式，把弧长C₁看作底，把半径R看作高就行了．当学了扇形的面积公式后，小明同学遇到这样一个问题：“某小区设计的花坛如下图中的阴影部分（扇环），它是一个大扇形去掉一个小扇形得到的，弧AB的长为C₁弧CD的长为C₂，AC=BD=d求花坛的面积．”受“曲边三角形”面积公式的启发，小明猜测扇环的面积应该类似梯形面积公式，他猜想花坛ABCD的面积，他的猜想对吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．

Answer 1

分析：先利用扇形的面积公式和弧长公式分别把扇形AOB和扇形COD的面积和弧长表示出来，扇环的面积=扇形AOB的面积-扇形COD的面积，通过公式变形和线段的和差关系得到扇环面积与扇形的弧长和半径差之间的关系：S=

1

2

（C₁+C₂）d．

解答：解：小明的猜想正确．
理由如下：
设∠AOB=∠COD=n°
扇形AOB的面积S1=

nπ•OA2

360

，
扇形COD的面积S2=

nπ•OC2

360

，
扇形AOB的弧长C1=

nπ•OA

180

，
扇形COD的弧长C2=

nπ•OC

180

．
所以扇环的面积S=S1-S2=

nπ•OA2

360

-

nπ•OC2

360

=

nπ

360

（OA²-OC²）
=

nπ

360

（OA-OC）（OA+OC）
=

nπ

360

•(OA+OC)•d
=

1

2

(

nπ

180

•OA+

nπ

180

•OC)•d
=

1

2

(C1+C2)•d
因此，小明的猜想对．

点评：解决本题首先要牢记扇形的面积公式和弧长公式以及扇形的面积与弧长之间的等量关系．面积公式：S=

nπr2

360

；弧长公式：C=

nπr

180

；扇形的面积与弧长之间的等量关系：S=

1

2

C•r．