Question

在学习扇形的面积公式时，同学们推得S_扇形=

nπR2

360

，并通过比较扇形面积公式与弧长公式l=

nπR

180

，得出扇形面积的另一种计算方法S_扇形=

1

2

lR．接着老师让同学们解决两个问题：
问题Ⅰ：求弧长为4π，圆心角为120°的扇形面积．
问题Ⅱ：某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分，已知AB和CD所在圆心都是点O，弧AB的长为l₁，弧CD的长为l₂，AC=BD=d，求花坛的面积．
（1）请你解答问题Ⅰ；
（2）在解完问题Ⅱ后的全班交流中，有位同学发现扇形面积公式S_扇形=

1

2

lR类似于三角形面积公式；类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积S=

1

2

（l₁+l₂）d．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．

Answer 1

分析：根据扇形公式之间的关系，结合已知条件推出结果．

解答：解：（1）弧长公式l=

nπR

180

，弧长为4π，圆心角为120°，则可得R=6，
S_扇形=

1

2

lR=12π．

（2）设大扇形半径为R，小扇形半径为r，圆心角度数为n，则由l=

nπR

180

，得R=

180l1

nπ

，r=

180l2

nπ

，
所以图中扇形面积为：

1

2

×l1×R-

1

2

×l2×r=

1

2

l1

180l1

nπ

-

1

2

l2

180l2

nπ

=

90

nπ

(l

2 1

-

l

2 2

)=

90

nπ

(l1+l2)(l1-l2)
=

1

2

•

180

nπ

(

nπ

180

R-

nπ

180

r)(l1+l2)
=

1

2

•(l1+l2)(R-r)=

1

2

(l1+l2)d．
故猜想正确．

点评：本题主要考查了扇形面积公式的应用．